Étude d'une fonction

D'après le bac STI2D-STL, Polynésie, 2014.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0~;+\infty[\) par : \(f(x) = 6 \ln x + ax + b\) où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles.
On appelle \(\mathcal C_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal \(\left(\text O~; \vec i , \vec j \right)\).
Le point \(\text A(1~ ; 1)\) appartient à \(\mathcal C_f\).
\(\mathcal C_f\) admet une tangente horizontale en son point d’abscisse \(2\).

Partie A

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé \(\mathcal C_f\) (trait plein) ainsi que les courbes \(\Gamma\) et \(\Omega\).
L’une de ces deux courbes est la représentation graphique de la fonction dérivée \(f'\) de \(f\), l’autre représente une primitive \(F\) de \(f\).

1. Indiquer laquelle des deux courbes est la représentation graphique de \(F\).
2. Par lecture graphique, déterminer \(f(1)\) et \(f'(2)\).
3. Donner l’expression de \(f'(x)\) en fonction de \(x\) et de \(a\).
4. À l’aide des résultats précédents, montrer que, pour tout \(x\) de l’intervalle \(\left]0~; +\infty\right[\),  \(f(x) = 6 \ln x − 3x + 4\).

Partie B

Dans cette partie, on vérifiera la cohérence des résultats obtenus avec la courbe \(\mathcal C_f\) fournie dans la partie A.
1. Calculer la limite de la fonction \(f\) lorsque \(x\) tend vers \(0\). 
2. Montrer que, pour tout \(x\) de l’intervalle \(\left]0~; +\infty\right[\), \(f'(x) = \dfrac{3}{x} (2 − x)\).
3. Étudier le signe de \(f'(x)\), puis donner les variations de la fonction \(f\).
4. En déduire que la fonction \(f\) admet un extremum dont on calculera la valeur exacte.

Partie C

Soit \(H\) la fonction définie sur \(\left]0~; +\infty\right[\) par \(H(x) = 6x \ln x − \dfrac{3}{2}x^2 − 2x\).

1. Montrer que \(H\) est une primitive de \(f\) sur \(\left]0~; +\infty\right[\).
2. Calculer la valeur exacte de \(I = \displaystyle\int_0^\text e f(x)\ \text dx\).
3. Donner une interprétation graphique du nombre \(I\).
4. En déduire une valeur approchée de \(I\) au dixième.